数学对这类问题还不够成熟。
以上是数学家保罗鄂尔多斯对我们要讨论的问题的评价。在我讨论过这个问题之后，你可能会觉得这么简单的问题也可以这么复杂。我们开始吧！
猜测一个正整数x，带入下面的分段函数进行运算。
如果是偶数，就除以2；如果是奇数，就乘以3再加1，这样又变成偶数了，再除以2。
假设你想到的数字是21。21是奇数。所以，(321 1)=64。64是一个偶数。除以2得到32。同样，32也是偶数，进一步得到16。又是一个偶数，然后进一步得到16/2=8。最终结果是1。
现在，1是个奇数。所以乘以3再加1得到(31 1)=4。因为4是偶数，所以我们得到421。
现在，问题“陷入”了一个421的循环。
想出另一个数字，比如7。7变成了22，然后是11。然后继续这样：
7221134175226134020105168421从7开始，最后进入421的循环。
这被称为“柯拉茨猜想”。科学家检验了“无数”个数字，准确的说是2 ^ 68个数字，都遵循这个猜想。
这个猜想是以洛萨柯拉茨命名的。他在1937年提出了这个猜想。它还有很多名字，如3n 1问题、3n 1猜想、乌兰猜想(以斯坦尼斯劳乌兰命名)、焦古问题(以角谷静夫命名)、斯韦茨猜想(以布莱恩斯韦茨爵士命名)、哈斯算法(以赫尔穆特哈斯命名)、锡拉丘兹问题等。
乍一看，这个猜想可能算是一个“结论”，但至今没有得到证明，也没有找到反例。我估计谁都会觉得“应该很简单”并且有证明的冲动！我的建议是不要尝试。这是一个深渊，你会陷在里面什么也得不到。
数学家对Collatz的研究表明，几乎所有的Collatz数列最终都会变成一个比起始数小的数。陶哲轩's偏微分方程证明，99%的数字最终会变成非常接近1的值。也许陶哲轩，现在最伟大的数学家之一，几乎证明了这个猜想。
你可以尽可能接近柯拉茨猜想，但还是遥不可及——陶哲轩
3x 1得到的数叫做冰雹数字，.为什么？因为如果你用图形画出来，它们就像雷雨云中的冰雹一样起伏。但是每个数字的图形都是不可预测的。
例如，26只需要10步就能达到1。达到1之前的最大数只有40。事情是这样的：
261340 20105168 4 2 1但如果我们以数字27为例，要走111步才能达到1。并且在达到1之前的最大数是9232。这个序列是这样的。
27 82 41 124 62 31 94 47 142 71 214 107 322 161 484 242 121 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 133666833416750225175437711325662 8385042512766383199584791438719215810793238161948582429728836441079 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106
53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1同样，28、29和30只需要18步就能达到1。但是31需要106步才能达到1。数学家们能找到的唯一规律就是没有规律。
数字50,000的科拉茨数列中每一步的图形表示。这是一个数字（我们取了50,000）达到1的每一步的图。如果取对数，并去除线性趋势，得到的只是一个几何学上的布朗运动。所有的波动都是随机的。
根据统计，从1开始的10亿的数字中有29.94%的数字以1开头（最高位为1），有17.47%的数字以数字2开头，有12.09%的数字以数字3开始，大概60%的数字以1，2，3数字开头。对于更大的数字，如4、5、6......百分比就会下降。这种分布被称为本福德定律（ Benford’s law）。本福德定律甚至被用来检测银行的税务欺诈和交易欺诈。
回顾上面的那张科拉茨图，如果每一个数字都遵循这个猜想，那么每一个数字都是无限扩展的树的一个分支。下面我们用这棵树做一些很酷的事情。
如果根据数列中的数字是奇数还是偶数，对路径上的每个点进行旋转，再加上一些漂亮的颜色，将得到一个类似珊瑚的结构。
科拉茨树以艺术方式的视觉表现。在上图中，我以艺术的方式表示了从1到50,000的数字，得到了一个看起来很有机的结构。
你可能会认为，既然我们已经检验了2^68个数字，并且所有这些数字都遵循了这个猜想，那么它肯定是真的。但这不能被当作数学中的证明。
波利亚猜想（Polya Conjecture）由匈牙利数学家乔治-波利亚在1919年提出，在1958年被C-布莱恩-哈塞尔格罗夫（ C. Brian Haselgrove）证明为假。反例的数值是1.854×10^361。
这让我们想到，虽然大多数数学家都在努力证明这个科拉茨猜想，但也许它不能被证明。就像波利亚猜想一样，可能有一个大得离谱的数字也不遵循科拉茨猜想。
我们可以尝试在猜想中寻找一些更多的模式。下面的图展示了前50,000个数字以及每个数字达到1所需的步骤。
前50,000个数字和每个数字达到1所需的步骤。它看起来像是两股从0出发，在100-150之间的某个地方汇合的“流”。我们还可以看到一些奇怪的直线水平线。还记得28、29和30都是用18步达到1的吗？所以这三个数字在图中形成了一条直线。从图中，我们可以看到有多个这样的数字组合，它们用完全相同的步数达到1。
让我们把前50,000个数字和函数log(x)一起绘制出来。现在，对于任何2的幂，log(x)是达到1所需的步数。更简单地说，数字2^n在n步内达到1。
我们看到log(x)作为函数的下限的作用。
回到猜想的证明上，有两种可能性。一种是有人证明了猜想的真假。或者是猜想是一个不可判定的问题。
英国数学家约翰康威(John Conway)在1987年对这个问题进行了概括。他假设有一台数学机器，他命名为“弗拉特朗（Fractran）”。他还假设这台机器是图灵完备的，这意味着它基本上可以做现代计算机能做的任何事情，但也有可能发生停机问题(halting problem )。
停机问题是逻辑学的焦点，也是第三次数学危机的解决方案。其本质问题是: 给定一个图灵机 T，和一个任意语言集合 S, 是否 T 会最终停机于每一个s∈S。其意义相同于可确定语言。显然任意有限 S 是可判定性的，可列的(countable) S 也是可停机的――百科
因此，科拉茨猜想有可能也是一个停机问题的对象。在这种情况下，我们可能永远无法证明科拉茨猜想是真还是假。
3x+1问题向我们展示了数学是多么不成熟。这个问题可以描述给一个五年级的学生，但仍然没有人能够证明或举出反例。我们无法解决这样一个简单易懂的问题，可能是非常令人沮丧的，但这就是数学的本质。
